组织考研培训的主要部门包括：

学校研究生考试研招办：

各个学校通常设有自己的研究生考试研招办，负责组织和指导该校学生的考研培训工作。

教育部考试中心考研培训机构：

这是最直接与教育部考试政策接轨的考研机构，提供全面的考研辅导，包括考试动态、考试大纲解读、考试技巧等。

知名培训机构：

如北京新航道考研培训机构，这类机构提供各个科目的考研培训，特别是在英语方面有着丰富的经验和资源。

学部或学院：

有些学部或学院也会组织考研复试线上培训会，如某学部的常务副部长主讲考研复试线上培训会。

教育部学位管理与研究生教育司：

作为研究生主管部门，负责组织实施《中华人民共和国学位条例》，拟订全国学位与研究生教育工作的改革与发展规划，指导与管理研究生培养工作等。

省级教育厅及教育行政部门：

考研机构的管理主要属于教育行政部门或省级教育厅，具体来说，教育行业的考研机构归教育体育局管辖，而一般个人公司型的考研机构则归市场监管部门管理。

工商局：

考研辅导机构作为民办教育机构，实质上是注册公司，需要各种办学资质，归工商局管辖。

税务局：

考研机构需要进行税务登记，取得税务登记证。

消防机构：

考研机构需要根据规定，到消防机构进行审批，取得消防审批证。

综上所述，考研培训的组织主要由学校、教育部考试中心、知名培训机构、学部或学院、教育部学位管理与研究生教育司、省级教育厅及教育行政部门、工商局、税务局和消防机构等多个部门共同完成。建议考生根据自身情况和需求，选择合适的培训机构和部门进行考研准备。