霍金通过一系列复杂的数学方程和理论工作，对宇宙的本质和演化做出了重要贡献。以下是他关于宇宙方程和理论的几个关键点：

宇宙膨胀的属性

霍金在1966年的博士论文《Properties of expanding universes》中，使用大量方程证明了宇宙膨胀理论，挑战了传统引力理论。他提出，基于引力辐射和宇宙膨胀，奇点的存在是不可避免的。

无边界假设

在1983年，霍金与詹姆斯·哈特尔合作提出了“无边界假设”，将宇宙的形状比作羽毛球。他们推导出一个方程，称为宇宙波函数（wave function of the universe），用以描述这个“羽毛球”形状的宇宙。

多元宇宙理论

霍金在去世前两周与Thomas Hertog合作提交了论文《顺利退出永恒膨胀》，提出了一个数学公式证明宇宙大爆炸创造了“多元宇宙”，而我们身处的宇宙只是其中一个。这个新模型为其他宇宙的存在提供了有力证据。

黑洞与引力波

霍金与哈特尔还通过量子力学对黑洞进行了更缜密的考察，证明了每个黑洞都有一定的温度，质量越小的黑洞温度越高，质量越大的黑洞温度越低。2016年，科学家首次发现双黑洞合并的现象，并借此检测到了引力波，这间接证明了爱因斯坦的预言。

总结来说，霍金并没有提出一个单一的“霍金证明宇宙的方程”，而是通过一系列复杂的数学方程和理论工作，对宇宙的本质和演化做出了重要贡献。他的工作涵盖了宇宙膨胀、无边界假设、多元宇宙理论以及黑洞与引力波等领域。