华罗庚是中国现代数学的重要奠基人之一，他对祖国的贡献主要体现在以下几个方面：

数学研究与创新

华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论以及多复变函数论等多个领域进行了开创性和奠基性的研究，是中国这些领域的创始人和开拓者。

他在多复变函数论和典型群方面的研究领先西方数学界10多年，并形成了具有国际影响力的“典型群中国学派”。

华罗庚解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，其成果被称为“华氏定理”。

他与王元教授合作，在近代数论方法应用研究方面取得了重要成果，被称为“华-王方法”。

教育事业与人才培养

华罗庚致力于数学教育和人才培养，他创建了中国科学院数学研究所，并担任首任所长，培养出了众多优秀的青年数学家，如王元、陈景润、万哲先、陆启铿、龚升等。

他积极推广数学知识，经常到各地进行讲座，并编写了大量教材，为中国的数学教育做出了杰出贡献。

推动科学普及与应用

华罗庚将科学研究与实际应用紧密结合，把数学方法推广到工农业生产中，解决了大量实际问题，为中国的现代化建设作出了显著贡献。

他发明的“优选法”和“统筹法”在生产和科学实验中得到了广泛应用，提高了生产效率。

爱国精神与实际行动

华罗庚在新中国成立初期，放弃了国外的优越生活条件，毅然携家回国，投身于新中国的数学科学事业。

他曾发表《致中国全体留美学生的公开信》，号召留美学生回国建设新中国，展现了深厚的爱国情怀。

综上所述，华罗庚在数学研究、教育、科学普及以及爱国精神等方面，都为中国做出了卓越的贡献，被誉为“中国现代数学之父”和“人民数学家”。